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第1章 ベクトルの意味｜1-1 大きさと向き
ベクトルを矢印として見て、長さが大きさを、矢印の進む方向が向きを表すことを確認します。座標平面上では成分から大きさを計算できます。
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数学C｜ベクトルの意味｜有向線分
ベクトルは、向きのある線分で表せます。始点と終点を区別し、どれだけ横へ進み、どれだけ縦へ進むかを図と成分で確認します。
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数学C｜ベクトルの意味｜零ベクトル
零ベクトルは、成分が(0,0)で、大きさが0のベクトルです。始点と終点が同じ有向線分として表され、向きは定めません。
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数学C｜ベクトルの意味｜等しいベクトル
ベクトルは、始点の位置が違っても、大きさと向きが同じなら等しいと考えます。有向線分の成分を読み取り、同じベクトルを表しているかを確認します。
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ベクトルの演算｜和
ベクトルの和は、1つ目のベクトルで進んだあと、2つ目のベクトルで続けて進む動きを表します。図では三角形の法則や平行四辺形の法則で、成分では横成分どうし・縦成分どうしを足して考えます。
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ベクトルの演算｜差
a-b は、a に b の逆ベクトルを足すことです。同じ始点にそろえると、b の終点から a の終点へ向かうベクトルになります。
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ベクトルの演算｜実数倍
ベクトルに実数を掛けると、長さと向きがどのように変わるかを確認します。正の数倍、負の数倍、0倍を区別し、成分計算にもつなげます。
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ベクトルの演算｜平行条件
2つのベクトルが平行かどうかを、実数倍・成分比・たすき掛けの条件から判定します。
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ベクトルの演算｜演算法則
ベクトルの和や実数倍には、数の計算と似た法則があります。交換法則・結合法則・分配法則を、図の移動と成分計算の両方から確認します。
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成分表示｜成分による和
座標平面上のベクトルを成分で表し、和を横成分どうし・縦成分どうしの足し算として計算できるようにします。
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成分表示｜和・差・実数倍
ベクトルを成分で表すと、和・差・実数倍は横成分と縦成分をそれぞれ計算するだけで求められます。図の意味と計算の手順を対応させて理解します。
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成分表示｜ベクトルの大きさ
ベクトルの大きさは矢印の長さです。成分表示では、横の成分と縦の成分を使い、三平方の定理で長さを求めます。
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位置ベクトル｜点の位置をベクトルで表す
位置ベクトルは、基準となる点から目的の点へ向かうベクトルです。座標平面では、原点Oから点Pへ向かうベクトルOPを使うと、点Pの位置を成分で表せます。この教材では、点の座標と位置ベクトルの対応、2点間のベクトルとの違いを確認します。
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位置ベクトル｜内分点・外分点・重心
線分を比で分ける点や三角形の重心は、位置ベクトルを使うと成分計算で求められます。この教材では、内分点・外分点の違いを図で確認し、最後に三角形の重心を3つの位置ベクトルの平均として求めます。
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位置ベクトル｜一直線上の条件
3点A,B,Cが一直線上にあるかどうかは、AからBへ向かうベクトルとAからCへ向かうベクトルの関係で判定できます。この教材では、図で一直線上の意味を確認し、ABとACが平行になる条件や、C=a+t(b-a) の形を使って判断する方法を学びます。
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ベクトルの内積｜内積の定義
内積は、2つのベクトルの長さとなす角を使って定められる量です。a・b=|a||b|cosθ の意味を確認し、同じ向き・直角・反対寄りの向きで内積の値や符号がどう変わるかを学びます。
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ベクトルの内積｜成分による内積
内積は長さとなす角で定義されますが、成分が分かっているときは、対応する成分をかけて足すだけで計算できます。この教材では、a=(a1,a2), b=(b1,b2) のとき a・b=a1b1+a2b2 となることを使い、正負の成分を含む計算や、内積から未知数を求める方法を学びます。
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ベクトルの内積｜なす角
2つのベクトルのなす角は、内積とそれぞれの大きさを使って求められます。この教材では、cosθ=(a・b)/(|a||b|) を使い、内積の値から角度を判断する方法を学びます。
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ベクトルの内積｜垂直条件
2つのベクトルが垂直であることは、内積を使って判定できます。内積の定義ではなす角が90°のときcos90°=0となり、成分表示では a1b1+a2b2=0 で確認できます。この教材では、垂直条件の意味、成分による判定、未知数を求める方法を学びます。
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図形への応用｜平行・垂直の証明
図形問題では、辺をベクトルとして表すことで、平行や垂直を計算で証明できます。この教材では、点の座標から辺ベクトルを作り、平行なら実数倍、垂直なら内積0という条件を使って、図形の性質を証明する流れを学びます。
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図形への応用｜三角形・四角形の性質
三角形や四角形の性質は、点の座標から辺ベクトルや中点を作ることで計算できます。この教材では、三角形の中点連結定理、平行四辺形の条件、長方形・ひし形の判定を、ベクトルを使って確認します。
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図形への応用｜図形の面積
2つのベクトルがつくる平行四辺形の面積は、成分を使って |a1b2-a2b1| で求められます。三角形の面積はその半分です。この教材では、平行四辺形・三角形・座標で与えられた図形の面積をベクトルで求める方法を学びます。
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図形への応用｜ベクトル方程式
ベクトル方程式は、点の位置をベクトルで表し、直線上を動く点を式で表す方法です。この教材では、p=a+td や p=a+t(b-a) の意味を図で確認し、点が直線上にあるか、線分上にあるか、未知数を含む点の座標を求める方法を学びます。
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空間ベクトル｜空間座標
空間座標では、点の位置を x座標・y座標・z座標 の3つの数で表します。平面座標の (x,y) に、高さや奥行きを表す z を加えることで、空間内の点を P(x,y,z) として扱えるようになります。この教材では、空間座標の読み方、座標軸の意味、座標平面上の点との違いを学びます。
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空間ベクトル｜空間ベクトルの成分
平面ベクトルでは横方向と縦方向の2成分で表しました。空間ベクトルでは、そこに高さ方向のz成分を加え、(x,y,z) の3成分で移動を表します。この教材では、空間ベクトルの成分、和・差・実数倍、2点間のベクトル、大きさの求め方を学びます。
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空間ベクトル｜空間での内積
空間ベクトルでも、内積の考え方は平面ベクトルと同じです。a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) のとき、対応する3つの成分をかけて足すことで内積を求めます。この教材では、空間での内積、なす角、垂直条件、未知数を含む計算を確認します。
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空間ベクトル｜空間図形への応用
空間図形では、点の座標から辺ベクトルを作り、距離・中点・平行・垂直・直線上の条件を計算で調べます。この教材では、空間座標と空間ベクトルの成分、内積を使って、空間図形の基本的な性質を判断する流れを学びます。
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