StepMath ベクトルベクトルの内積｜内積の定義コンテンツ一覧へ戻る
長さとなす角から、2つのベクトルの関係を数で表す

内積の定義を図と式で理解する

内積は、2つのベクトルの長さとなす角を使って定められる量です。a⃗\vec{a}・b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{b}=\lvert \vec{a} \rvert\lvert \vec{b} \rvert\cos\theta の意味を確認し、同じ向き・直角・反対寄りの向きで内積の値や符号がどう変わるかを学びます。

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ポイント1｜内積は数になる
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert\lvert \vec{b} \rvert\cos\theta

内積はベクトルではなく1つの数です。2つのベクトルの長さと、なす角θによって値が決まります。

ポイント2｜角度が値を左右する
cos0°=1,cos90°=0,cos180°=−1cos0°=1, cos90°=0, cos180°=-1

同じ向きなら内積は大きく、直角なら0、反対向きに近いほど負になります。角度の影響を意識しましょう。

ポイント3｜内積は向きのそろい具合を表す
a⃗⋅b⃗>0,a⃗⋅b⃗=0,a⃗⋅b⃗<0\vec{a}\cdot \vec{b} > 0, \vec{a}\cdot \vec{b} = 0, \vec{a}\cdot \vec{b} < 0

内積の符号を見ると、2つのベクトルが同じ向き寄りか、直角か、反対向き寄りかを判断できます。

定義

STEP 1｜内積の定義を確認する

2つのベクトルa⃗,b⃗\vec{a},\vec{b}の内積は、長さとなす角θを使って定義されます。

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert\lvert \vec{b} \rvert\cos\theta
内積の定義として正しいものはどれですか。