内分点・外分点・重心を位置ベクトルで求める

線分を比で分ける点や三角形の重心は、位置ベクトルを使うと成分計算で求められます。この教材では、内分点・外分点の違いを図で確認し、最後に三角形の重心を3つの位置ベクトルの平均として求めます。

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ポイント1｜内分点は線分の内側

\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n \to \vec{p}=(n \vec{a} + m \vec{b})/(m+n)

内分点はAとBの間にある点です。比が $\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n$ のとき、A側の位置ベクトル $\vec{a}$ にはn、B側の位置ベクトル $\vec{b}$ にはmがかかります。

ポイント2｜外分点は線分の外側

\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n \to \vec{p}=(-n \vec{a} + m \vec{b})/(m-n)

外分点はAとBを結ぶ直線上で、線分 $\overrightarrow{AB}$ の外側にある点です。内分点と違い、分母がm-nになることに注意します。

ポイント3｜重心は3点の平均

g=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})/3

三角形ABCの重心Gは、3つの頂点の位置ベクトルの平均で表せます。座標もx成分・y成分をそれぞれ平均します。

内分の意味

STEP 1｜内分点の位置を確認する

内分点は、線分 $\overrightarrow{AB}$ をある比で分ける点です。

\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n

内分点について正しい説明はどれですか。