3つの成分を使って空間ベクトルの内積を計算する

空間での内積を理解する

空間ベクトルでも、内積の考え方は平面ベクトルと同じです。 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、対応する3つの成分をかけて足すことで内積を求めます。この教材では、空間での内積、なす角、垂直条件、未知数を含む計算を確認します。

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ポイント1｜3成分の積を足す

\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

空間ベクトルの内積は、x成分どうし、y成分どうし、z成分どうしをかけて足します。

ポイント2｜定義は平面と同じ

\vec{a}\cdot \vec{b}=\lvert \vec{a} \rvert\lvert \vec{b} \rvert\cos\theta

空間でも、内積は2つのベクトルの大きさとなす角で定義されます。成分計算の結果と同じ値になります。

ポイント3｜垂直条件も同じ

\vec{a}⊥\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0

空間でも、2つのベクトルが垂直なら内積は0です。3成分の積の和が0になるかを確認します。

公式

STEP 1｜空間での内積の公式を確認する

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき、空間での内積は3つの成分を使って計算します。

\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

空間ベクトルの内積の公式として正しいものはどれですか。